主要包含子序列问题
对应leetcode题目为300.674.718.1143.53
代码地址https://github.com/Ltd5552/Algorithm/tree/master/8-DP/Sequence
300.最长递增子序列
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
动态规划
子序列是由数组中相对位置固定的元素组成的。这道题可以有几种不同的做法，这里先介绍动态规划。
-
dp[i]定义为以
nums[i]结尾的最长递增子序列长度注意这里强调的是以
nums[i]结尾，而这并不一定是[0, i]中最优的那个，这样定义的目的是让后面nums[i]和nums[j]比较后才能有意义，为什么有意义直接讲比较抽象，后面举例详细分析； -
递推公式
首先确定的是，当
nums[i] > nums[j]的时候说明nums[j]才有可能成为最长递增子序列的一部分（否则都不满足题意了）。为什么是有可能，因为序列不一定是连续的，有可能不算
nums[j]前面或后面的统计出来更长，所以dp[i] = max( dp[i], dp[j]+1)，需要说明的是这里的max求的就是所有nums[j]满足条件情况下的最大值。 -
初始化都为1，因为自身就是1个
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举例
上面提到dp[i]定义为以
nums[i]结尾的最长递增子序列长度，nums[i]和nums[j]的比较才有意义，经过递推公式其实已经好解释了，当nums[i] > nums[j]时nums[j]才有可能成为最长递增子序列的一部分，按上面的定义如果加入nums[j]就能直接通过dp[j]+1的方式计算出加入这个元素后的序列长度，再与之前的进行比较就能够获得全局最长的了。具体而言，假设数组为
[4,5,2,6]，当nums[i] = 6，nums[j] = 2时，满足加入条件，此时会考虑以{2, 6}结尾的子序列是否是最长的，所以会通过max与之前满足的比较，显然这里的2过小限制了前面的长度，而这里选择nums[j] = 5时是最长的。所以有意义更在于是判断了能把对应的nums[j]放到序列中去，以尾部元素来限制、框定以获取不断递增的子序列。
func lengthOfLIS(nums []int) (ans int) {
dp := make([]int, len(nums))
//全部初始化为1，因为最短的就只含本身
for i := range dp {
dp[i] = 1
}
for i := 1; i < len(nums); i++ {
for j := 0; j < i; j++ {
//若当前的大于前面的那么就在目标子序列中
if nums[i] > nums[j] {
//不断比较最后获得的是最长的
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
}
}
}
for i := range dp {
ans = max(dp[i], ans)
}
return ans
}
显然，这种定义dp的方式最后一个不一定是最优的，所以需要在最后找出最长的。
674.最长连续递增序列
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。
连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。
示例 1：
输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。
示例 2：
输入：nums = [2,2,2,2,2]
输出：1
解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
分析
相比于上一题这里更简单了，因为连续递增就是只考虑前面一个，当满足nums[i] > nums[i-1]时递推公式就是dp[i] = dp[i-1] + 1
func findLengthOfLCIS(nums []int) int {
dp := make([]int, len(nums))
//每一项还是初始化为1
for i := range dp {
dp[i] = 1
}
for i := 1; i < len(nums); i++ {
if nums[i] > nums[i-1] {
dp[i] = dp[i-1] + 1
}
}
return utils.Max(dp...)
}
718.最长重复子数组
给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。
示例 1：
输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
示例 2：
输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出：5
分析
-
dp[i][j]定义为以下标i-1结尾的A和j-1结尾的B的最长重复子数组长度。 -
递推公式，因为是重复的子数组那么只能由邻近的推出，且当
A[i-1]=B[j-1]时有dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
func findLength(nums1 []int, nums2 []int) int {
dp := make([][]int, len(nums1)+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, len(nums2)+1)
}
ans := 0
for i := 1; i <= len(nums1); i++ {
for j := 1; j <= len(nums2); j++ {
if nums1[i-1] == nums2[j-1] {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
}
ans = max(ans, dp[i][j])
}
}
return ans
}
1143.最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
分析
和上面差不多，不过这里是序列而不是数组了，意味着可以从更之前的推出，所以递推公式有一定变化。
当text1[i-1] = text2[j-1]的时候，显然可以在dp[i-1][j-1]基础上取得更长的公共部分，所以dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
当text1[i-1] != text2[j-1]的时候，就要看除开不相等的这部分之前的谁更长了dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
func longestCommonSubsequence(text1 string, text2 string) int {
dp := make([][]int, len(text1)+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, len(text2)+1)
}
for i := 1; i <= len(text1); i++ {
for j := 1; j <= len(text2); j++ {
if text2[j-1] == text1[i-1] {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
} else {
dp[i][j] = utils.Max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
}
}
}
return dp[len(text1)][len(text2)]
}
1035.不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j]- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出：2
分析
可以发现求不相交的线的数量其实就是对A和B中的元素进行匹配，因为是不相交的就相当于是相对位置固定的，这样就转换为了求最长公共子序列问题了，剩下的和上一题完全一样。
func maxUncrossedLines(nums1 []int, nums2 []int) int {
dp := make([][]int, len(nums1)+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, len(nums2)+1)
}
for i := 1; i <= len(nums1); i++ {
for j := 1; j <= len(nums2); j++ {
if nums1[i-1] == nums2[j-1] {
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
} else {
dp[i][j] = utils.Max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
}
}
}
return dp[len(nums1)][len(nums2)]
}
53.最大子数组和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
分析
-
dp[i]定义为以nums[i]结尾的最大连续子序列和
-
递推公式：
存在对nums[i]之前的要不要两种情况，当选择保留nums[i-1]的时候是
dp[i] = dp[i-1]+nums[i]；当丢弃之前重新计算的话dp[i] = nums[i]，选择两种情况中结果最大的dp[i] = Max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
同样的，最后的结果也不一定是dp数组的最后一个，因为之前的定义就限制了必须以nums[i]结尾，而最长的不一定是最后一个结尾
func maxSubArray(nums []int) int {
//dp[i]的定义是以下标i结尾的最大子数组和，必须包含i，所以这里需要使用ans求最大的
dp := make([]int, len(nums))
dp[0] = nums[0]
ans := dp[0]
for i := 1; i < len(nums); i++ {
dp[i] = utils.Max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
ans = utils.Max(ans, dp[i])
}
return ans
}