Ltd的算法大抄·动态规划·股票买卖

主要总结了股票买卖问题

对应leetcode题目为121.122.123.188.309.714

代码地址https://github.com/Ltd5552/Algorithm/tree/master/8-DP/Stock

121.买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

分析

最基础的版本，仅能够买卖一次，求最大利润

1. 定义dp[i][0]为第i天持有股票所得最多的现金，dp[i][1]为第i天不持有股票所得最多的现金；

2. 递推公式

   对于某一天来说存在两种状态：

   1. 持有股票：

      • 可能是之前就有：dp[i][1] = dp[i-1][1]

      • 也可能是当天买入：dp[i][1] = -prices[i]

      由于是仅能买卖一次，所以无需考虑之前的利润，第i天买入就一定是-prices[i]

   2. 不持有股票：

      • 可能是一直都没有：dp[i][0] = dp[i-1][0]
      • 也可能是当天卖出：dp[i][0] = dp[i-1][1] + prices[i]

​ 两种情况都取最大值即可

​ 而后面的其他问题也是基于这两种初始状态演变、升级

3. 初始化

   根据上面的定义初始化比较简单

   dp[0][0] = 0

   dp[0][1] = -prices[0]

   剩下的都由这两个推出来

4. 遍历顺序就是从前往后，因为后面的都依赖前面的结果

func maxProfitI(prices []int) int {
	dp := make([][]int, len(prices))
	for i := range dp {
		dp[i] = make([]int, 2)
	}
	// i-0表示第i天不持有股票
	// i-1表示第i天持有股票
	dp[0][1] = -prices[0]
	dp[0][0] = 0
	for i := 1; i < len(dp); i++ {
		//之前就没有或者是第i天卖出去了
		dp[i][0] = utils.Max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
		//之前就有或者第i天买入的
		dp[i][1] = utils.Max(dp[i-1][1], -prices[i])
	}
	return dp[len(prices)-1][0]
}

122.买卖股票的最佳时机II

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
     总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
     总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

分析

状态定义还是与上一题一样，唯一不同的就是能够多次买卖，限制是得卖了才能再买。

所以唯一不同的地方是考虑第i天买入的时候之前的不持有状态可能有结余（之前可能存在买卖情况），而对于上一道题而言就相当于之前的不持有状态下利润为0（没有买卖交易）。

递推公式

对于某一天来说存在两种状态：

1. 持有股票：

   • 可能是之前就有：dp[i][1] = dp[i-1][1]

   • 也可能是当天买入：dp[i][1] = dp[i][0]-prices[i]

2. 不持有股票：

   • 可能是一直都没有：dp[i][0] = dp[i-1][0]
   • 也可能是当天卖出：dp[i][0] = dp[i-1][1] + prices[i]

​ 两种情况都取最大值即可

unc maxProfitII(prices []int) int {
	dp := make([][]int, len(prices))
	for i := range dp {
		dp[i] = make([]int, 2)
	}
	// i-0表示第i天不持有股票
	// i-1表示第i天持有股票
	dp[0][1] = -prices[0]
	dp[0][0] = 0
	for i := 1; i < len(dp); i++ {
		//之前就没有或者是第i天卖出去了
		dp[i][0] = utils.Max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])
		//之前就有或者第i天买入的，与I不同的是这里计算第i天买入时考虑之前买卖结果的结余（也可能为负）
		dp[i][1] = utils.Max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])
	}
	return dp[len(prices)-1][0]
}

123.买卖股票的最佳时机III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

分析

相对于前两道题而言，这道题加入最多买入两次的条件，导致情况变得更加复杂，需要对每天的状态情况更加详细的划分。

• 状态1表示第一次持有
• 状态2表示第一次不持有
• 状态3表示第二次持有
• 状态4表示第二次不持有

所以dp数组如下定义

1. 定义dp数组，对每一天定义出四种状态

   • dp[i][1]为第一次持有

   • dp[i][2]为第一次不持有

   • dp[i][3]为第二次持有

   • dp[i][4]为第二次不持有

在初始化时dp[0][3]即第二次持有可以理解为当天买了又卖再买

func maxProfitIII(prices []int) int {
	dp := make([][]int, len(prices))
	for i := range dp {
		dp[i] = make([]int, 5)
	}
	//初始化第1、2次持有
	//而第1、2次不持有初始化就是0
	dp[0][1] = -prices[0]
	dp[0][3] = -prices[0]
	for i := 1; i < len(prices); i++ {
		dp[i][1] = utils.Max(dp[i-1][1], -prices[i])
		dp[i][2] = utils.Max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i])
		dp[i][3] = utils.Max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i])
		dp[i][4] = utils.Max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i])
	}
	//状态4>=状态2，所以直接取4就行
	return dp[len(prices)-1][4]
}

// 这个和上面的差不多，只不过是使用了滚动数组
func maxProfitIII2(prices []int) int {
	dp := make([]int, 5)
	//初始化第1、2次持有
	//而第1、2次不持有初始化就是0
	dp[1] = -prices[0]
	dp[3] = -prices[0]
	for i := 1; i < len(prices); i++ {
		dp[1] = utils.Max(dp[1], dp[0]-prices[i])
		dp[2] = utils.Max(dp[2], dp[1]+prices[i])
		dp[3] = utils.Max(dp[3], dp[2]-prices[i])
		dp[4] = utils.Max(dp[4], dp[3]+prices[i])
	}
	//状态4>=状态2，所以直接取4就行
	return dp[4]
}

188.买卖股票的最佳时机IV

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格，和一个整型 k 。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：

输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：

输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

分析

这一题又是紧扣上一题的次数限制，这里是延申到了k次，这就会导致每天状态变得更多

但根据上一题可以看出，当我们交替定义第n次持有或不持有的话就可以转换为两种情况：持有或不持有，对应于奇偶(或偶奇)序数，所以使用奇偶数进行处理。

func maxProfitIV(k int, prices []int) int {
	dp := make([][]int, len(prices))
	for i := 0; i < len(prices); i++ {
		dp[i] = make([]int, 2*k+1)
	}
	for j := 1; j < 2*k; j += 2 {
		dp[0][j] = -prices[0]
	}
	//因为有+2操作
	for i := 1; i < len(prices); i++ {
		//第二层循环是针对奇偶实现交替
		for j := 0; j < 2*k; j += 2 {
			//持有
			dp[i][j+1] = utils.Max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j]-prices[i])
			//不持有
			dp[i][j+2] = utils.Max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1]+prices[i])
		}
	}
	return dp[len(prices)-1][2*k]
}

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组 prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0

分析

引入冷冻期，所以需要将当天卖出股票状态单独列出来，因为冷冻期状态只能由前一天卖出状态转化而来，如果合并为三个状态会比较复杂

1. 保持买入股票状态
2. 保持卖出股票状态
3. 当天卖出股票状态
4. 冷冻期状态

其他内容都一样

func maxProfitV(prices []int) int {
	dp := make([]int, 4)
	dp[0] = -prices[0]
	for i := 1; i < len(prices); i++ {
		tmp0 := dp[0]
		tmp2 := dp[2]
		dp[0] = utils.Max(dp[0], dp[3]-prices[i], dp[1]-prices[i])
		dp[1] = utils.Max(dp[1], dp[3])
		dp[3] = tmp2
		dp[2] = tmp0 + prices[i]
	}
	return utils.Max(dp[1], dp[2], dp[3])
}

上面是对空间进行了强行优化，实则还是可以用二维dp

714.买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意：**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

分析

这道题就是在122的基础上引入了手续费，只需要在交易的买入/卖出选择一次计算费用即可

func maxProfitVI(prices []int, fee int) int {
	dp := make([]int, 2)
	//规定买入的时候收手续费
	dp[0] = -prices[0] - fee
	for i := 1; i < len(prices); i++ {
		//购入或卖出只选一次计算费用即可
		dp[0] = utils.Max(dp[0], dp[1]-prices[i]-fee)
		dp[1] = utils.Max(dp[1], dp[0]+prices[i])
	}
	return dp[1]
}

总结

这类买卖问题非常好地展示了对于状态的分析、转移，以及基于状态转移的递推式推导，同时可以通过一定规律对状态进行合并，比如上面的奇偶合并了k天的2*k个状态，还有对于空间的压缩要注意是否会影响到后面的内容。

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